Coś trudnego...

Dane są trzy współśrodkowe okręgi o promieniach 1, 2, 3.
Jak wybrać na każdym z nich po jednym punkcie, aby pole powstałego trójkąta było największe? 


A oto rozwiązanie :P

 Przedstawmy okręgi w układzie współrzędnych o środku w (0,0). Szukany trójkąt rozpadnie się na 3 trójkąty. Współrzędne wierzchołków przedstawimy we współrzędnych biegunowych.

Ponieważ pole szukanego trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych szukamy jej ekstremów przez różniczkowanie cząstkowe, a pochodne przyrównujemy do zera.

Z powyższych dwóch równań otrzymujemy zależność:

Tu możemy zastosować wzory Cardano, ale szybciej będzie wyznaczyć przybliżone wartości pierwiastków, np. Excelem. Jeden z pierwiastków jest większy od 1 więc go odrzucamy, bo nie może być wartością cosinusa. Następne dwa to:

Po podstawieniu powyższych wartości do F mamy: F = 4,904822 jako przybliżenie maksymalnego pola trójkąta ABC.