Coś trudnego...

Dane są trzy współśrodkowe okręgi o promieniach 1, 2, 3.
Jak wybrać na każdym z nich po jednym punkcie, aby pole powstałego trójkąta było największe? 


A oto rozwiązanie :P

 Przedstawmy okręgi w układzie współrzędnych o środku w (0,0). Szukany trójkąt rozpadnie się na 3 trójkąty. Współrzędne wierzchołków przedstawimy we współrzędnych biegunowych.

Ponieważ pole szukanego trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych szukamy jej ekstremów przez różniczkowanie cząstkowe, a pochodne przyrównujemy do zera.

Z powyższych dwóch równań otrzymujemy zależność:

Tu możemy zastosować wzory Cardano, ale szybciej będzie wyznaczyć przybliżone wartości pierwiastków, np. Excelem. Jeden z pierwiastków jest większy od 1 więc go odrzucamy, bo nie może być wartością cosinusa. Następne dwa to:

Po podstawieniu powyższych wartości do F mamy: F = 4,904822 jako przybliżenie maksymalnego pola trójkąta ABC. 

Niby takie łatwe :P...

:P

Łatwe odpowiedzi na trudne zagadki :P

Właśnie przez takie zagadki możemy rozgrzać nasz umysł :P

zagadki :P

Warto obejrzeć :) 

POLECAM :)

Przedziały liczbowe

W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżniamy podzbiory zwane przedziałami liczbowymi. Przedziały liczbowe dzielimy na przedziały ograniczone i nieograniczone (nieskończone).

Dla danych liczb a i b takich, że a < b definiuje się przedziały liczbowe następująco:

Przedziały ograniczone:

(a; b) = {x: a < x < b} - przedział obustronnie otwarty

<a; b> = {x: a ≤ x ≤ b} - przedział obustronnie domknięty

<a; b) = {x: a ≤ x < b} - przedział lewostronnie domknięty

(a; b> = {x: a < x ≤ b} - przedział prawostronnie domknięty

Przedziały nieograniczone:

(-∞; a) = {x: x < a} - prawostronnie otwarty

(-∞; a> = {x: x ≤ a} - prawostronnie domknięty

(a; +∞) = {x: a ≥ x} - lewostronnie otwarty

<a; +∞) = {x: a > x} - lewostronnie domknięty

(-∞; +∞) = R    cała oś liczbowa.

Funkcja wymierna

Funkcją wymierną nazywamy funkcję określoną wzorem $f\left(x\right)$ = W(x) G(x) ,
gdzie W(x), G(x) są wielomianami i G(x) ≠ 0.

Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem zbioru wszystkich miejsc zerowych wielomianu G(x).

Działania na funkcjach wymiernych określa się tak jak działania na ułamkach zwykłych. Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernaj właściwej. Wystarczy podzielić W(x) przez G(x).

O miejscach zerowych funkcji wymiernaj $f\left(x\right)$ = W(x) G(x) decyduje wielomian W(x). Wystarczy poszukać miejsc zerowych wielomianu W(x), należy jednak określić wpierw dziedzinę danej funkcji, ponieważ kiedy miejsce zerowe funkcji wymiernej nie należy do dziedziny należy je wykluczyć.

Funkcja wymierna $f\left(x\right)$ = W(x) G(x) przyjmuje wartości dodatnie wówczas gdy
$f\left(x\right)$ = W(x) G(x) > 0 , co jest równoważne nierówności W(x) · G(x) > 0.
Funkcja wymierna przyjmuje wartości ujemne wówczas gdy W(x) · G(x) < 0.

Wykresem najprostrzej funkcji wymiernej, tzn. funkcji mającej postać $f\left(x\right)$ = a x jest hiperbola o asymptotach x = 0 i y= 0.

Funkcja homograficzna 

Granica funkcji :P

Granica funkcji – nieformalnie, wartość do której obrazy danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez Augustina Louisa Cauchy'ego oraz Heinricha Eduarda Heinego.

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo  jest wartością bezwzględną tak liczby jak i 

Uogólnienia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych można odnaleźć w wielu innych miejscach. Przykładowo wartość bezwzględną można zdefiniować dla liczb zespolonych, kwaternionów, pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych. W wielu różnych kontekstach matematycznych i fizycznych pojęcie wartości bezwzględnej wykazuje bliski związek z pojęciami wielkości, odległości, czy też metryki oraz normy.

Logika ;P

1.Każdy układ równań jest przykładem:
a)alternatywy zdań
b) koniunkcji zdań
c) alternatywy form zdaniowych
d) koniunkcji form zdaniowych

2.Zbiór elementów spełniajacych pewne równanie jest zbiorem pustym.
Wynika stąd, że równanie to jest:
a) przeczne
b) tożsamością
c) oznaczone
d) nie ma sensu

Tylko jedna odpowiedź prawidłowa..
Która i dlaczego ?? Prosiłym o jakieś krótkie uzasadnienie..


Odpowiedź w komentarzu :)
Pozdrawiam

Geometria analityczna

Geometria analityczna

Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

Logarytmy .

Logarytmy - warto wiedzieć !

Wyrażenie algebraiczne :p

Wyrażenie algebraiczne – syntaktycznie jest to wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, /, potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej.

Semantycznie wyrażenie algebraiczne, jako wyrażenie dobrze zbudowane w języku algebry, jest zapisem pewnego algorytmu złożonego z elementarnych działań dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania (pierwiastkowanie sprowadza się do potęgowania).

Najprostsze wyrażenia algebraiczne to pojedyncze stałe (np. 5) oraz zmienne (np. x), bardziej skomplikowane to m.in. jednomiany (np. ), dwumiany (np. ), wielomiany (np. ), zapisy typu  czy

.

Nie są natomiast wyrażeniami algebraicznymi zapisy złożone z symboli algebraicznych, ale pozbawione sensu, np. , wyrażenia w których uczestniczą symbole funkcji, np.  albo relacji, np. . Na ogół zakłada się, że wyrażenia algebraiczne mają skończoną długość, nie jest więc wyrażeniem algebraicznym np. ułamek:

Niektórzy autorzy wymagają, aby stałe w wyrażeniu algebraicznym były liczbami algebraicznymi.

Jeśli w wyrażeniu algebraicznym nie występuje potęgowanie o niecałkowitym wykładniku (czyli także pierwiastkowanie stopnia innego niż ), to jest ono wyrażeniem wymiernym. W przeciwnym wypadku jest wyrażeniem niewymiernym

W informatyce stosowane jest zbliżone (nieco szersze) pojęcie wyrażenia arytmetycznego. Inni zaś uważają, że wyrażenie matematyczne nie zawierające zmiennych to wyrażenie arytmetyczne, a zawierające zmienne to wyrażenie algebraiczne.

WIELOKĄTY NIEFOREMNE O PARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla czworokąta ABCD. Możliwości mamy tu dwie:
1. albo są dwie pary wierzchołków, z których jeden jest obrazem drugiego,
2. jest tylko jedna para, a pozostałe wierzchołki (przeciwległe) są stałymi punktami symetrii

Czworokąt

Spostrzeżenia

Trapez równoramienny i deltoid mają jedną oś symetrii. Prostokąt i romb mają dwie osie symetrii. Inne czworokąty, np. równoległobok osi symetrii nie mają.
Sześciokąt posiadający oś symetrii
Znowu rozważam dwie możliwości:

1. Jedna oś symetrii
Zaznaczam trzy dowolne punkty A, B i C, a następnie znajduję ich obrazy w symetrii względem prostej k.

Wielokąty nieforemne o parzystej liczbie wierzchołków mogą mieć jedną lub dwie osie symetrii wtedy, gdy:
- wszystkie wierzchołki tworzą pary, z których jeden jest obrazem drugiego względem osi symetrii lub,
- dwa wierzchołki są punktami stałymi symetrii, a pozostałe tworzą pary z których jeden jest obrazem drugiego.

Wnioski (uogólnienia)
1. W wielokątach nieforemnych o nieparzystej liczbie boków symetralna boku pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego.
2. W wielokątach nieforemnych o parzystej liczbie boków znajdujemy pary boków o wspólnej symetralnej. Poza tym znajdujemy proste zawierające dwusieczne kątów wewnętrznych naprzeciwległych pokrywające się z osiami symetrii.

Figury stałe symetrii osiowej - figury osiowosymetryczne

WIELOKĄTY NIEFOREMNE O NIEPARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW
Kiedy wielokąt nieforemny ma oś symetrii?Figury stałe symetrii osiowej - figury osiowosymetryczne WIELOKĄTY NIEFOREMNE O NIEPARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW Kiedy wielokąt nieforemny ma oś symetrii?
A. Trójkąt różnoboczny
a) Spróbujmy ustalić jaki trójkąt różnoboczny ma oś symetrii. Jeżeli przy pewnej symetrii osiowej obrazem trójkąta ABC ma być on sam, to obrazem jednego wierzchołka (np. A) powinien być inny wierzchołek (np. B) - wtedy także B jest obrazem punktu A - co jednoznacznie określa obraz trzeciego wierzchołka: powinien to być punkt C (punkt stały tej symetrii osiowej) A. Trójkąt różnoboczny a) Spróbujmy ustalić jaki trójkąt różnoboczny ma oś symetrii. Jeżeli przy pewnej symetrii osiowej obrazem trójkąta ABC ma być on sam, to obrazem jednego wierzchołka (np. A) powinien być inny wierzchołek (np. B) - wtedy także B jest obrazem punktu A - co jednoznacznie określa obraz trzeciego wierzchołka: powinien to być punkt C (punkt stały tej symetrii osiowej)

n - liczba boków
n = 3
1. - liczba osi symetrii 1
Trójkąt osiowosymetryczny jest zatem równoramienny. Jeżeli nie jest on przy tym równoboczny, to ma dokładnie jedną oś symetrii. Jest nią symetralna boku AB zawierająca przeciwległy wierzchołek C symetralna boku AB pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego

1. liczba osi symetrii = 0
2. żadna symetralna boku nie zawiera przeciwległego wierzchołka
3. żadna dwusieczna kąta nie pokrywa się z symetralną boku

B) Pięciokąt posiadający oś symetrii
Zaznaczam trzy dowolne punkty A, D i C a następnie znajduję ich obrazy symetrii względem prostej k.

1. Jedna oś symetrii
2. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek, która pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego.

C) Siedmiokąt posiadający oś symetrii

1. Jedna oś symetrii
2. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek
D. Symetralna boku AG pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta naprzeciwległego.

Spostrzeżenia
Wielokąty nieforemne o nieparzystej ilości wierzchołków mają jedną oś symetrii wtedy, gdy jeden wierzchołek jest punktem stałym symetrii, pozostałe wierzchołki tworzą pary, z których jeden wierzchołek jest obrazem drugiego. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek wielokąta pokrywającą się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego, naprzeciwległego.

Symetria osiowa, oś symetrii

Na płaszczyźnie symetrią względem prostej a nazywamy izomerię nietożsamościową tej płaszczyzny na siebie, w której wszystkie punkty prostej są stałe. Prostą a nazywamy osią symetrii, a samo przekształcenie symetrią osiową.

Punkt stały i figura stała przekształcenia

Punktem stałym przekształcenia geometrycznego nazywamy punkt będący swoim własnym obrazem przy tym przekształceniu. Figurą stałą przekształcenia f nazywamy odpowiednio figurę F, która jest zbiorem wszystkich swoich punktów. Izomerię, która figurę przekształca na siebie nazywamy izomerią własną.

Przekształcenia geometryczne płaszczyzny

Przekształcenie geometryczne jest funkcją. Spośród różnych rodzajów przekształceń geometrycznych są takie, które zachowują odległość punktów, czyli jeżeli A jest obrazem punktu A, a B - odpowiednio obrazem punktu B, to |A, B| = |AB|, bez względu na wybór punktów A i B. każde przekształcenie geometryczne o tej własności nazywamy przekształceniem izometrycznym lub krótko: izometrią . Jeśli zbiór wszystkich izomerii płaszczyzny oznaczymy przez Iz, to definicję izometrii możemy zapisać ściśle tak:
Przykłady:
1) Identyczność
2) Przesunięcie (nie zmienia odległości punktów)
3) Obrót (np. symetria środkowa)
4) Symetria osiowa
Złożenie izomerii jest izomerią. Izomeria jest różnowartościowa.

Figury geometryczne .

Figura geometryczna to dowolny zbiór punktów z przestrzeni euklidesowej. Do podstawowych figur geometrycznych zaliczamy: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń, które są pojęciami pierwotnymi geometrii. Każdy wyobraża sobie jakoś te obiekty i bez trudu potrafi wskazać ich modele. Każda figura geometryczna płaska posiada pewne własności przedstawione poniżej

Figura wypukła i wklęsła
Figurę geometryczną nazywamy wypukłą, jeśli każdy odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w tej figurze. Figurę geometryczną, która nie jest wypukła, nazywamy wklęsłą.

Figura ograniczona
Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w żadnym kole nazywamy nieograniczoną.

Brzeg i wewnętrze figury
Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w każdym kole o środku w punkcie B znajdują się zarówno punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące.
Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli istnieje koło o środku w punkcie W zawarte w tej figurze.
Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych tej figury.

Figury przystajace
Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można nałożyć na drugą.

Warto obejrzeć ;P polecam

http://www.youtube.com/watch?v=XecYmvUw8EM 

Hmmm...

Odpowiedź w komentarzu ;P

Jak szybko dodać lub odjąć ułamki?

Jest prosta metoda nie odwołująca się do znajdowania wspólnego mianownika, która pozwala dodać lub odjąć ułamki. Metoda ta wyznacza licznik jako sumę (różnicę) iloczynów wyrazów skrajnych, a mianownik jako iloczyn obu mianowników. Niedogodnością tej metody jest częsty przymus upraszczania ułamka końcowego. 
Przykłady:
$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{3·6+4·5}{4·6}=\frac{38}{24}=1\frac{14}{24}=1\frac{7}{12}$ 
$\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3·3-4·2}{4·3}=\frac{1}{12}$

Ułamki zwykłe

Dodawanie ułamków

Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki to dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.
$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$

Jeżeli chcemy dodać liczby mieszane, dodajemy całości do całości, a ułamki do ułamków:
$\mathrm{2 }\frac{3}{8} + \mathrm{5 }\frac{2}{8} = \mathrm{7 }\frac{5}{8}$

Jeżeli ułamki mają różne mianowniki, to sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy liczniki pozostawiając mianownik bez zmian.
$\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\mathrm{?}$

$\frac{3}{4}=\frac{3·3}{4·3}=\frac{9}{12}$
$\frac{2}{3}=\frac{2·4}{3·4}=\frac{8}{12}$

$\mathrm{}\frac{3}{4}+\mathrm{}\frac{2}{3}=\mathrm{}\frac{9}{12}+\mathrm{}\frac{8}{12}=\mathrm{}\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$

Odejmowanie ułamków

Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach, odejmujemy ich liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian.
$\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$

Jeżeli chcemy odjąć liczby mieszane, odejmujemy całości od całości, a ułamki od ułamków:
$\mathrm{4 }\frac{3}{5} - \mathrm{1 }\frac{2}{5} = \mathrm{3 }\frac{1}{5}$

Aby odjąć ułamki o róznych mianownikach, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, następnie odejmujemy.
$\mathrm{}\frac{5}{6}-\mathrm{}\frac{1}{4}=$ ?
$\frac{5}{6}=\frac{5·2}{6·2}=\frac{10}{12}$
$\frac{1}{4}=\frac{1·3}{4·3}=\frac{3}{12}$

$\mathrm{}\frac{5}{6}-\mathrm{}\frac{1}{4}=\mathrm{}\frac{10}{12}-\mathrm{}\frac{3}{12}=\mathrm{}\frac{7}{12}$

Liczby dziesiętne

Liczby 902,8 48,3005 0,021.....
to liczby dziesietne
Zapisujemy je,uzywajac przecinka, ktory stawiamy po jednosciach, a przed częściami dziesiętnymi.

Aby ustalic, która z dwoch liczb dziesietnych jest wieksza, wystarczy porownac kolejno rzędy, zaczynając od najwyzszego.
np:5,25<5,243

Liczby mozemy zaokraglac z rożną dokładnoscią, np.
do jednosci 902,8=903 48,3005=48 0,021=0
do czesci dziesietnych 14,6050=14,6 5,25=5,3 
do czesci setnych 48,30005=48,3

Zakraglanie jest z nadmiarem, gdy wartosc przyblizona jest wieksza
od zaokraglonej liczby, a z niedomiarem, gdy jest od niej mniejsza.

Część pewnej całosci mozemy opisywac na wiele różnych sposobów, np. uzywajac
ułamka zwykłego, liczby dziesietnej,procentow.

1% danej wielkosci oznacza jej setna cześć.

Liczby dziesietne mnozymy tak samo jak liczby naturalne. Przecinek stawiamy tak, aby w iloczynie było tyle cyfr po przecinku, ile jest ich w obu czynnikach razem.

dzieląc liczby dziesietne musimy najpierw pomnozyc je przez 10,100,1000... tak aby usunac przecinek z dzielnika.
2,55/1,5=25,5 /15. 

Liczby rzymskie ;/

Warto wiedzieć !

Troszeczkę o historii...

Historia matematyki jest prawdopodobnie równie stara jak ludzkość. Przetrwały pewne ślady, zarówno w znaleziskach paleontologów, jak i w języku, które wskazują, że proste obliczenia wykorzystywali prehistoryczni myśliwi, kobiety przewidujące datę miesiączki, czy wodzowie plemienni szacujący bojową siłę swoich ludzi.

Najstarszymi znanymi tekstami matematycznymi są Plimpton 322 (Babilonia ok. 1900 p.n.e.), Moskiewski papirus matematyczny (Egipt ok. 1850 p.n.e.), Papirus Matematyczny Rhinda (Egipt, 1650 p.n.e.), Shulba Sutras (Indie ok. 800 p.n.e.). Wszystkie te teksty wspominają twierdzenie Pitagorasa, które wydaje się być najbardziej rozpowszechnionym w starożytności wynikiem matematycznym.

Matematyka egipska i sumeryjska była dalej rozwijana przez Greków, którzy ponadto usystematyzowali niezależne dotąd twierdzenia w jeden spójny system. Dalszy rozwój matematyka zawdzięcza Arabom. Wiele greckich i arabskich prac matematycznych zostało następnie przetłumaczonych na łacinę, co pozwoliło na dalszy rozwój tych koncepcji w średniowiecznej Europie.

Co ciekawe, historia starożytnej i średniowiecznej matematyki składa się z okresów gwałtownego postępu, oddzielonych całymi stuleciami stagnacji. Schemat ten zakończył się dopiero w okresie renesansu. Era nieprzerwanego rozwoju matematyki, rozpoczęta w XVI-wiecznych renesansowych Włoszech, trwa po dziś dzień.

Coś z innej beczki ...

Zastanówcie się jak one zostały ułożone.
 Odpowiedź postaram się dać jeszcze w tym tygodniu :p   

Coś trudnego .....

Odpowiedz w komentarzu

Jak najkrócej :P

Wzory skróconego mnożenia : 

 - kwadrat sumy a i b

  - kwadrtat różnicy a i b

 - sześcian sumy a i b

 - sześcian różnicy a i b

 - suma kwadratów a i b 

 - różnica kwadrtatów a i b

 - suma sześcianów a i b

  - różnica sześcianów a i b